7.1    Premessa

 
Una equazione (non importa di che grado) con più di una incognita non ha UNA soluzione specifica ma ne ha INFINITE. Per capire questa cosa prendiamo una semplicissima equazione di primo grado con DUE incognite:
 
    x + y = 5
 
 Ora, dando un valore a caso alla prima incognita, se ne trova sempre uno da dare alla seconda per verificare l'uguaglianza.
Infatti:
 
    x = 0            y = 5
    x = 1            y = 4
    x = 2            y = 3
    x = 3            y = 2
    x = 4            y = 1
    x = 5            y = 0
 
ma posso continuare
 
    x = 6            y = -1
     x = 7            y = -2
    x = 300        y = -295
    x = 3,8         y = 2,2
 
ecc. ecc. ecc.
 
Se rappresentassi tutte queste coppie di numeri su un piano Cartesiano vedrei che i punti sul piano individuati dalle loro coordinate sono perfettamente allineati e formano una retta. Una retta ha infiniti punti cioè infinite COPPIE di valori ( appunto le coordinate).
 
Il problema è dunque questo: posso trovare UNA specifica coppia di numeri che mi risolvano un particolare problema del tipo:
 
  •   la somma delle età dei miei due figli è 30 anni, quanti anni hanno?
che tradotto in equazione diventa
  •     x + y = 30
 
Sarebbe un pò come chiedere:
  •     Giovanni abita in Viale Carducci: sapete trovare la sua casa?
NO!
 
Cosa vi serve per individuare la sua abitazione?
 
Inviatemi la vostra risposta alla mia mail:
 
carlogiannini@email.it
 
 
Al 28 febbraio 2014 (oggi per me che scrivo) sono arrivate 14 risposte, alcune delle quali interessanti. Attendo l'autorizzazione alla loro pubblicazione ma ho già risposto a tutti privatamente per e-mail.
Potete continuare a inviare le vostre risposte fino al giorno 5 marzo p.v. quando pubblicherò la risposta, proseguendo la trattazione di questo Capitolo.
 
 
Tra tutte le risposte arrivate la più appropriata è stata:
        "manca un'altra informazione"
facendo riferimento all'esempio della persona che abita in Viale Carducci, per esempio se abita all'incrocio con un'altra strada.
 
Quindi se al mio problema aggiungo una seconda informazione tutto diventa più facile.
sapendo che:
  • la casa di Giovanni è in Viale Carducci
  • la casa di Giovanni è in Largo Europa
posso trovare la sua abitazione, addirittura in due modi diversi
  1. percorrendo Viale Carducci fino all'incrocio con Largo Europa
  2. percorrendo Largo Europa fino all'incrocio con Viale Carducci
 
Tornando al quesito iniziale aggiungiamo una seconda informazione
 
  •   la somma delle età dei miei due figli è 30 anni
  •   il primo ha 4 anni di più del secondo
 
Analizzando la seconda affermazione, possiamo sintetizzarla (indifferentemente) in questi tre modi:
 
a)    primo = secondo + 4        (il primo è più vecchio di 4 anni)
b)    secondo = primo - 4        (il secondo è più giovane di 4 anni)
c)    primo - secondo = 4        (la differenza di età è di 4 anni)
 
che posso tradurre in temini matematici con queste equazioni:
 
a)    x = y + 4
b)    y = x - 4
c)    x - y = 4
 
Potete notare che queste tre equazioni sono equivalenti, cioè ognuna è ottenibile da una delle altre due semplicemente "spostando" i termini da una parte all'altra del segno "UGUALE" come abbiamo visto nel   CAPITOLO 2   sulle equazioni di primo grado.
 
Scriviamo ora il nostro sistema, utilizzando (come esempio) l'equazione (c):
 
 
Ora ricaviamo una delle due incognite in una delle due equazioni (a scelta). Per semplicità ricaviamo la x nella seconda equazione:
 
 
Se  x = y + 4, posso sostituire questo valore al posto della x nell'altra equazione, in questo modo:
 
 
A questo punto la prima equazione del nostro sistema contiene UNA SOLA INCOGNITA perchè al posto della "x" abbiamo sostituito una espressione dove la "x" non c'è e pertanto (se è risolvibile) ammette UNA SOLA SOLUZIONE.
 
Proviamo:
 
(y + 4) + y = 30           tolgo le parentesi
y + 4 + y = 30               sommo le Y
2y + 4 = 30                    il 4 a sinistra è SOMMATO
2y = 30 - 4                     portandolo a destra diventa SOTTRATTO  (CAPITOLO 2)
2y = 26                     sposto il 2 a destra e diventa DIVISO
y = 26/2 = 13
y = 13 
 
Abbiamo trovato il primo valore che stavamo cercando. Ora sostituiamo questo numero al posto dell lettera X nell'altra equazione del sistema:
 
x = y + 4 = (13) + 4 = 17
x = 17
 
Quindi la nostra soluzione completa è:
 
x = 17
y = 13
 
Per avere la conferma che la soluzione sia giusta basta fare la verifica:
 
x + y = 30            cioè            17 + 13 = 30
x - y = 4              cioè            17 - 13 = 4
 
Quindi:
  • per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite bisogna:
  1. ricavare una delle due incognite in una delle due equazioni (per esempio la y nella seconda equazione)
  2. sostituire l'espressione trovata nell'altra equazione (in questo esempio la prima)
  3. calcolato il valore della incognita in questa equazione basta sostituire questo valore (numero) nell'altra equazione
e il gioco è fatto.
 
N:B: E' sempre indispensabile fare la verifica in entrambe le equazioni.
 
 
Facciamo un altro esempio:
 
 
a questo punto possiamo concentrarci sulla seconda equazione, quella che contiene solo la y e risolverla normalmente
 
3(19 - 3y) - 2y = 2
57 - 9y - 2y = 2
57 - 11y = 2
-11y = 2 -57
-11y = -55
 
per avere la y positiva cambio TUTTI i segni (moltiplicando a destra e a sinistra per -1)
 
+11y = +55
y = 55/11 = 5
y = 5
 
E ora troviamo la x:
 
x = 19 - 3y
x = 19 -3(5)
x = 19 - 15
x = 4
 
VERIFICA:
 
x + 3y = (4) + 3(5) = 4 + 15 = 19
3x - 2y = 3(4) - 2(5) = 12 - 10 = 2