Capitolo 3: monomi, polinomi e le loro operazioni
3.1 Monomi e polinomi
Prendiamo ora il MONOMIO 3mx
3.2 Somme (algebriche) coi monomi
Come sempre facciamo riferimento alla vita reale: se sto facendo l'inventario in un ristorante e scrivo
3 tavoli rotondi + 4 tavoli quadrati + 2 tavoli rotondi + 5 tavoli esagonali + 7 tavoli quadrati
è chiaro che posso sommare tra di loro solo gli oggetti uguali (identici), quindi sommerò i tavoli rotondi (3 + 2 = 5) e i tavoli quadrati (4 + 7 = 11)
TOTALE = 5 tavoli rotondi + 11 tavoli quadrati + 5 tavoli esagonali
Se uso delle abbreviazioni (tavoli rotondi = TR, tavoli quadrati = TQ e tavoli esagonali = TE) avrò:
3 TR + 4 TQ + 2 TR + 5 TE + 7 TQ = 5 TR + 11 TQ + 2 TE
3.3 Moltiplicazioni e divisioni di monomi
La regola fondamentale delle moltiplicazioni (e delle divisioni) dei monomi è la seguente:
più x più = più (+)(+) = (+)
più x meno = meno (+)(-) = (-)
meno x meno = più (-)(-) = (+)
cioè:
(+4)(+3) = +12
(+2)(-5) = - 10
(-7)(+1) = - 7
(-5)(-4) = + 20
(+a)(+b) = (+1a)(+1b) = +1ab (che si scrive abbreviato) = ab
(+3m)(-4n) = (+3m)(-4n) = -12mn
(-5x)(+y) = (-5x)(+1y) = -5xy
(-3a)(-2x) = +6ax
Quindi per moltiplicare due monomi bisogna
- 3.3-1 PRIMA calcolare il segno (con la regola del "più per più", più per meno" ecc.)
- 3.3-2 POI moltiplicare i coefficienti (con le normali tabelline)
- 3.3-3 INFINE scrivere le lettere in ordine alfabetico
ricordando sempre che anche se non scriviamo nulla è sempre sottinteso un segno "per" della moltiplicazione
18abx = (+18)*(+a)*(+b)*(+x)
Lo stesso vale per le divisioni
3.4 Potenze di monomi
Se (3a)(4b) = (+3a)(+ab) = +12ab
allora (3a)(4a) = (+3a)(+4a) = +12aa
e (3a)(4a)(2a) = (+3a)(+4a)(+2a) = +24aaa
eccetera.
Per la congenita pigrizia insita nel genere umano, invece di scrivere " aa " oppure " aaa " si usano le POTENZE
aa si scrive a2
aaa si scrive a3
aaaa si scrive a4
aaa....aa si scrive an
(n volte)
per cui la POTENZA " a " elevato alla " settima " si ottiene moltiplicando il monomio per se stesso
a.a.a.a.a.a.a
USANDO sette " a " . In realtà le moltiplicazioni sono sempre una di meno della POTENZA indicata con l' ESPONENTE perchè già nella prima moltiplicazione ne usiamo DUE.
Vediamo alcuni esempi pratici:
Come si può vedere
- 3.4-1 le POTENZE PARI (seconda, quarta, ecc.) hanno SEMPRE un risultato POSITIVO
- 3.4-2 le POTENZE DISPARI (terza, quinta ecc.) MANTENGONO IL SEGNO DI PARTENZA
Tornando ai nostri esempi di prima scriveremo:
(3a)(4b) = (+3a)(+4b) = +12ab = 12ab
(3a)(4a) = (+3a)(+4a) = +12aa = 12a2
(3a)(4a)(2a) = (+3a)(+4a)(+2a) = +24aaa = 24a3
ESERCIZI
3.5 Operazioni con le potenze
- 3.5.1 Somme algebriche di potenze
Si possono sommare (o sottrarre) due o più potenze solo se hanno le parti letterali IDENTICHE:
3ax3 + 12ax3 – 5ax3 = + 10ax3
Invece i monomi:
4a2x3 + 5a3x2 + 2ax + 7x3
NON si possono sommare e rimangono espressi così come sono.
- 3.5.2 Moltiplicazione e divisione di potenze
A5 = A*A*A*A*A
X3 = X*X*X
Quindi:
Concludendo:
- MOLTIPLICANDO due potenze con base uguale i coefficienti si MOLTIPLICANO e gli esponenti si SOMMANO
Analogamente ricordando che
avremo:
Ricordando la nostra DOPPIA CROCE
se MOLTIPLICANDO gli esponenti si SOMMANO, è ovvio che DIVIDENDO gli esponenti si SOTTRAGGONO
- DIVIDENDO due potenze con base uguale i coefficienti si DIVIDONO e gli esponenti si SOTTRAGGONO
- 3.5.3 Potenze di potenze
(x3)4 = (x3)( x3)( x3)( x3) = x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x = x12
cioè
(x3)4 = x(3*4)
Ancora una volta torna utile la DOPPIA CROCE:
- nella POTENZA DI POTENZA l'esponente si "ELEVA" e gli esponenti si MOLTIPLICANO
- 3.5.4 Radici di potenze
Poichè l'operazione "RADICE" è l'inverso dell'operazione "POTENZA" se facendo la potenza di una potenza MOLTIPLICO gli esponenti, quando devo fare la radice di una potenza DIVIDERO' l'esponente della potenza per l'indice della radice. Cioè se faccio la radice cubica di A elevato alla dodicesima troverò A elevato alla quarta, semplicemente perchè dodici diviso tre fa quattro.
Notate bene che (sempre a causa dell'umana pigrizia) quando NON C'E' scritto nessun indice sulla radice si sottintende sempre che ci sia scritto il numero "2" e viceversa: la radice quadrata (o "seconda") si scrive senza aggiungere l'indice "2".
- 3.5.5 Proprietà delle potenze
Quindi la nostra famosa DOPPIA CROCE MAGICA alla fine del capitolo 1 ci permette di ricordare tutte le proprietà delle potenze
- Gli esponenti ed i coefficienti non si "mescolano" mai tra loro, cioè non esiste nessun caso in cui sommo, sottraggo, moltiplico, divido ecc. un coefficiente direttamente con un esponente o un indice di radice. Gli esponenti rispetto ai coefficienti sono dei "nobili", tanto è vero che li scriviamo in alto, proprio per non confonderli coi coefficienti "plebei".
- Gli esponenti delle potenze "fanno" sempre un passo in meno, infatti
- se moltiplico si sommano
- se divido si sottraggono
- se elevo a potenza si moltiplicano
- se faccio una radice si dividono
3.6 Moltiplicazioni di un monomio per un polinomio.
Se ho il polinomio
15a + 60b - 25c e voglio moltiplicarlo tutto per 3 scriverò
3(15a + 60b + 25c) che corrisponde a
(+3)(+15a + 60b + 25c)
Per fare questa moltiplicazione devo moltiplicare (+3) per TUTTI i monomi dentro la parentesi (mi raccomando la regola dei segni)
(+3)(+15a + 60b + 25c) = +45a + 180b + 75c
Altri esempi:
5a(3x - 4y) = +15ax - 20ay
-2m(4x -3y + 7) = -8mx +6my -14m
Ricordando che il coefficiente "1" ed il segno "+" vengono sempre sottintesi avremo:
(a + b - 3) = (+1)(+a + b -3) = +a +b -3
e
-(a + b -3) = (-1)(+a +b -3) = -a -b +3
per cui possiamo inventarci la regoletta:
- 3.6-1 quando davanti ad una parentesi c'è il segno " + " togliamo la parentesi e ricopiamo tutti i monomi così come sono
- 3.6-2 quando davanti ad una parentesi c'è il segno " - " togliamo la parentesi cambiando tutti i segni di ciascun monomio
Tornando all'esempio dei tavoli e delle sedie
(15a + 60b) + (10a + 40b)
e ricordando che è la scrittura abbreviata di
(+1)(+15a + 60b) + (+1)(+10a + 40b)
avremo:
(15a + 60b) + (10a + 40b) = +15a + 60b +10a + 40b = +25a +100b
Altri esempi:
2(5a + 4b) -3(3a - b) = +10a + 8b -9a + 3b = +1a + 11b = +a + 11b
3a(2x - y) -a(4x - 2y) = +6ax - 3ay -4ax + 2ay) = +2ax - y
3.7 Moltiplicazioni tra polinomi
(a + b)(x + y + z)
Questo è il tipico esempio di una moltiplicazione tra polinomi. Eseguirla e facilissimo: basta
- 3.7-1 moltiplicare OGNI monomio della prima parentesi per TUTTI i monomi della seconda parentesi.
(a + b)(x + y + z) = +ax + ay + az +bx + by + bz
(2a - 3b)(4x - 5y - 6) = +8ax - 10ay - 12a - 12bx + 15by + 18b
(5a -3b +2)(8m -7n -8) = 40am -35an -40a -24bm +21bn +24b +16m -14n -16
ESERCIZI