4) Potenze particolari
Abbiamo visto nel capitolo precedente che:
- 4-1 una POTENZA è una serie di moltiplicazioni della base per se stessa.
Abbiamo detto cioè che
AxAxAxAxA = A5 (usando " X " per indicare la moltiplicazione)
La serie più corta di moltiplicazioni è quella formata da UNA SOLA moltiplicazione, cioè:
AxA = A2
Per questo motivo, stando alla DEFINIZIONE (4-1),
- A1 NON HA SENSO, in quanto per fare UNA moltiplicazione sappiamo che servonio DUE numeri
Ancora peggio
- A0 NON HA SENSO perchè come faccio a fare UNA moltiplicazione senza usare nessun numero?
Per capire questa affermazione facciamo un esempio concreto.
Dato che ogni operazione è un LEGAME che unisce DUE numeri e al loro posto ci fornisce UN altro numero (il risultato) prendiamo in considerazione il legame "MATRIMONIO". Anche questo legame unisce DUE persone e genera UNA FAMIGLIA.
Se davanti al celebrante c'è UNA SOLA persona non può certo sposarla (con chi?)
Peggio ancora se davanti a lui NON C'E' NESSUNO!
Poi ci sono i numeri negativi. Che senso ha scrivere
A-1
A-2
A-3
eccetera?
E infine, ha senso una potenza con esponente frazionario?
Vediamo di procedere con ordine.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-
4.1 A1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Abbiamo detto che quando MOLTIPLICHIAMO due potenze (di ugual base) gli esponenti si SOMMANO e quando DIVIDIAMO gli esponenti si SOTTRAGGONO perchè "fisicamente" si eliminano (si semplificano) sopra e sotto.
Ora facciamo
A5 : A4 = A(5-4) = A1
Ecco dove nasce il problema!
Cosa succede se invece di applicare la regoletta (DIVIDO>SOTTRAGGO) faccio i calcoli?
Vediamo (le moltiplicazioni sono indicate con l'asterisco *)
Quindi
- A5 : A4 = A1 (applicando la regola)
- A5 : A4 = A (facendo la semplificazione)
ci fà concludere che dobbiamo porre
- A1 = A PER CONVENZIONE
cioè:
-
4.1-1 qualunque "oggetto" elevato alla "UNO" rimane uguale a se stesso
-
4.1-2 qualunque "oggetto" è elevato alla "UNO" ( " 1 " è sottinteso)
quindi:
x = x1
(a + 2b) = (a + 2b)1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-
4.2 A0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Vediamo cosa succede in questo caso:
A4 : A4 = A(4 - 4) = A0
Anche qui proviamo a eseguire i calcoli, semplificando i termini uguali evidenziati in giallo (le moltiplicazioni sono indicate con l'asterisco *)
Anche qui abbiamo:
- A4 : A4 = A0
e
- A4 : A4 = 1
quindi
- A0 = 1 PER CONVENZIONE
da qui la regola:
-
4.2-1 qualunque "oggetto" elevato alla "ZERO" fà SEMPRE "UNO"
(5x - 7y +18a - b + 3)0 = +1
(-5x2y)0 = +1
(-a)0 = +1
(qualunque cosa)0 = +1
però ATTENZIONE:
-x0 = -(x)0 = -(+1) = -1
Questa NON è una eccezione, semplicemente l'esponente "zero" è attaccato SOLO alla lettera e NON al segno, come si vede se aggiungiamo le parentesi che non scriviamo per semplicità (leggi: PIGRIZIA).
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-
4.3 A-n
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Proviamo a fare:
A3 : A4 = A(3 - 4) = A-1 ?????
ed ora dividiamo facendo le semplificazioni:
per cui deriva che:
In particolare:
cioè
- l'esponente negativo "capovolge" la frazione.
però ATTENZIONE:
-1(-1) = -(1)-1 = -1
cioè il "meno" dell'eponente NON CAMBIA IL SEGNO DEL MONOMIO
Quindi ora possiamo fare queste operazioni:
x3 : x7 = x-4
10x : 5x3 = 10x1 : 5x3 = 2x-2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-
4.4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Vediamo cosa succede quando ci troviamo di fronte ad una situazione come questa:
Qui usiamo direttamente la logica matematica e ragioniamo così, ricordando la nostra doppia croce:
- se ELEVANDO a potenza una potenza MOLTIPLICHIAMO gli esponenti, quando dobbiamo fare la RADICE ENNESIMA di una potenza faremo l'inverso cioè DIVIDIAMO l'esponente per l'indice della radice.
Vediamo qualche esempio:
ricordando che quando sul segno di radice NON scriviamo l'indice, significa che sottindendiamo il numero "2", cioè indichiamo la RADICE QUADRATA"
.......ultimo aggiornamento 29 gennaio 2014..........
...................continua...........................