Capitolo 1:   Le operazioni fondamentali

                                                  

1.1   QUANTE SONO LE OPERAZIONI

 

Cominciamo con la più semplice delle domande: quante sono le operazioni ?

Penso che tutti siano in grado di citarne quattro, almeno in ordine sparso:

• moltiplicazione ( x )
• somma ( + )
• divisione ( : )
• sottrazione ( - ).

Io aggiungo anche

• potenza ( o² )
• radice ( √ )

e vedremo tra poco che queste sei operazioni hanno tra di loro dei legami e delle gerarchie importanti, anzi fondamentali.

 

Ma prima di tutto chiediamoci:

quanti numeri servono per fare una operazione?

La risposta più frequente è “almeno due”, ma è sbagliata o almeno inesatta, perché per fare UNA operazione servono DUE numeri, né di più né di meno!

3 x 2  = 6

4 + 5 = 9

6 : 2 = 3

9 – 2 = 7

2³ = 8

√25 = 5

Quindi    2 + 3 + 4   non rappresenta UNA operazione ma DUE operazioni, anzi è una piccola “espressione aritmetica (o algebrica)”.

 

Più complicato è dire COSA sono le operazioni. Per il momento mi limito a chiedermi:

 

•     COSA HANNO IN COMUNE TUTTE LE OPERAZIONI ?

 

Senza entrare in troppe inutili e complicate spiegazioni dirò che le operazioni sono come delle “ricette culinarie” che, anche se usano gli stessi elementi di base, danno delle “pietanze” diverse a seconda di come vengono cucinati gli ingredienti.

Cerco di spiegarmi meglio: lo stesso pollo posso farlo arrosto, lesso, fritto, in umido o in centomila altri modi, solo cambiando la ricetta.

Lo stesso succede in matematica: usando i numeri 16 e 2 posso ottenere:

 

                       16 + 2 =       18

                       16 – 2 =        14

                       16 x 2 =        32

                       16 : 2  =        8

                       16²      =         256

                       √16    =         4

 

Quindi ogni singola operazione con le sue regole specifiche (la sua propria ricetta) prende DUE numeri e li taglia, li trita, li bolle, li ripassa in padella e poi ci sforna il risultato. Oppure, se prefrite, possiamo dire che:

• 1.1-1    ogni OPERAZIONE è un LEGAME che unisce (o fonde o mescola o amalgama insieme) DUE numeri e al loro posto ce ne fornisce UN altro (il risultato). 

 

1.2  LE RELAZIONI TRA LE OPERAZIONI

 

Per prima cosa è abbastanza intuitivo vedere la parentela orizzontale che le raggruppa a coppie:

1.     somma e sottrazione

2.     moltiplicazione e divisione

3.     potenza e radice

in quanto in ogni singola coppia ogni operazione è l’inverso dell’altra.

 

Prendiamo la coppia numero 1 ( somma e sottrazione ): si può sempre trovare una sottrazione che elimina l’effetto di una o più somme e viceversa:

 

prendo il numero 100, sommo 5 e trovo 105                            100 + 5 = 105

 

poi sottraggo 5 e torno a 100                                                    105 – 5 = 100

 

Quindi 100 più 5 meno 5 fà 100:                                              100 + 5 – 5 = 100

 

Inoltre posso eseguire queste DUE operazioni nell’ordine che preferisco:

 

prima             100 + 5 = 105                      poi                  105 – 5 = 100

oppure           100 – 5 = 95                         poi                    95 + 5 =  100

 

Ora prendo il numero 100, sommo 5 poi 3 poi 4 e trovo 112

 

                       100 + 5 + 3 + 4 = 112.

 

Se ora sottraggo 12 ritorno al numero di partenza, cioè 100

 

                       112 – 12 = 100

 

Analogo discorso per la coppia n.2  moltiplicazione e divisione:

 

                       100 x 5 = 500

                       500 : 5 = 100

 

per cui:          100 x 5 : 5 = 100.

 

L’espressione              8 x 6 : 2         la posso risolvere come voglio:

 

prima             8 x 6 = 48      poi                  48 : 2 = 24

oppure           8 : 2 = 4         poi                  6 x 4 = 24

o anche          6 : 3 = 3         poi                  8 x 3 = 24

 

Infine:

(√16)² = 16               come pure                 √(16)² = 16.

 

Concludendo possiamo dire che tra di loro

1.     somma  e  sottrazione

2.     moltiplicazione  e  divisione

3.     potenza  e  radice

sono “parenti” strette e sono l'una l'inverso dell'altra.

 

 

 

1.3  LA SCALA GERARCHICA DELLE OPERAZIONI  

 

Abbiamo visto che quando abbiamo delle espressioni algebriche che contengono solo operazioni parenti tra loro (le famose coppie 1, 2, 3) possiamo eseguirle nell’ordine che preferiamo ed il risultato non cambia.

Faccio un esempio: per calcolare

 

            4 + 5 -  2 + 3 – 1 +8 – 7 + 9 = ?

 

posso seguire l’ordine in cui è scritta l’espressione, cioè:

 

4+5=9           >       9-2=7       >       7+3=10       >         10-1=9       >       9+8=17       >       17-7=10       >       10+9=19

                      

oppure posso sommare tutti i numeri positivi                +4 + 5 + 3 + 8 + 9 =  29

poi tutti quelli negativi                                                     2 + 1 + 7 = 10

e poi fare una sola sottrazione                                         29 – 10 =  19

 

o qualunque altra sequenza di calcolo che il risultato sarà sempre e soltanto 19.

 

Ma cosa succede quando nella stessa espressione trovo operazioni che appartengono a coppie diverse (situate su piani diversi)?

Prendiamo la semplice espressione

                       3 x 4 + 2 = ?

Posso ancora scegliere in quale ordine fare le operazioni? Proviamo:

 

se faccio prima         3 x 4 = 12      poi      12 + 2            ottengo          14

invece se faccio         4 + 2 = 6       poi      3 x 6               trovo             18

 

                       >>>>>>>>>> PANICO !!!!! <<<<<<<<<<

 

l’espressione              3 x 4 + 2 = ?      farà  14   o   18 ?????

Ma c’è di peggio:

                       3 + 2 = 5        >         5 x 4 = 20

                       4 x 2 = 8        >         8 + 3 = 11

                       3 x 2 = 6        >         6 + 4 = 10

 

Significa forse che la matematica è solo una opinione? Quale sarà la risposta giusta? Ma soprattutto: PERCHE’ scegliere un risultato anziché un altro o meglio QUALE è la procedura giusta?

Penso che quasi tutti diranno che la risposta è “14” perché si fa prima la moltiplicazione e poi la somma ma la mia domanda esistenziale rimane la stessa:

 

•     PERCHE’ SI DEVE FARE PRIMA LA MOLTIPLICAZIONE DELLA SOMMA?

 

E se a me tornasse più comodo fare prima la somma, chi me lo può impedire?

 

Per trovare la risposta possiamo fare in diversi modi. Cominciamo domandandoci se la matematica DEVE rispettare la realtà delle cose o se la è realtà ad essere  schiava dei risultati algebrici. La risposta ovvia è che la matematica serve a darci degli strumenti tecnici che ci aiutino nella vita di tutti i giorni e pertanto DEVE darci dei risultati CERTI e IMMUTABILI e soprattutto al di sopra di ogni interpretazione fantasiosa o, peggio, faziosa o ingannevole.

Quindi caliamoci nella quotidianità:

al Supermercato acquisto 3 confezioni di lattine di birra da quattro pezzi, più due lattine sfuse.

Se vado alla cassa (prima di averle bevute tutte per evitare di perdere la cognizione del tempo e dello spazio) quante lattine dovrò pagare?

Siete d’accordo con me che questa semplice situazione può essere visualizzata in questa forma  grafica

 

     

              

che possiamo tradurre in termini matematici in questa espressione algebrica

 

   3   x  4  +  2  =   ?

 

Non possiamo permetterci il lusso di aspettare che la cassiera pigi “ ad capocchiam” sette o otto tasti  della cassa per sapere se ci metterà in conto 10, 11, 14, 18 o 20 lattine, dando poi la colpa al programma del computer se la cifra non ci persuade. In caso di contestazione come possiamo sapere quante lattine ci sono nel carrello SENZA FARE NESSUNA OPERAZIONE per evitare di essere imbrogliati o di passare noi da ladri?

 

La risposta alla prossima settimana.

 

No, stavo scherzando!

 

L’unico modo certo e indiscutibile è aprire le confezioni e contarle tutte una a una per vedere che sono …………….. 14.

E siccome l’unico modo possibile di ottenere 14 dalla nostra espressione è fare PRIMA la moltiplicazione (3x4=12) e POI sommare 2 (12+2=14), ecco la risposta alla mia domanda esistenziale:

 

> bisogna fare PRIMA le moltiplicazioni e POI le somme sennò i conti non tornano!

 

Analogamente     3 x 4² = ?  può dare parecchi risultati diversi:

 

            3 x 4 = 12      >         12² = 144

            4² = 16           >         3 x 16 = 48

 

ma anche qui basta contare le mattonelle necessarie per fare tre quadrati di quattro mattonelle per lato per trovare la risposta giusta

                      

Se ora ne aggiungo altre  5  saranno 53 in totale, quindi:

                       3 x 4² + 5 = 53

 

cioè          [3 x (4²)] + 5   =   [3 x (16)] + 5   =   [48] + 5   =   53

 

 

Quindi partendo dal basso e salendo di grado come i piani di un palazzo le nostre tre coppie di operazioni hanno una struttura orizzontale e verticale rappresentabile così:

        

dove più si sale e più forte è il legame che unisce due numeri. Quindi per calcolare una espressione aritmetica o algebrica bisogna partire dall'alto, cioè dalle operazioni più forti. Ecco spiegato PERCHE' si fanno prima le potenze e le radici, poi le moltiplicazioni e le divisioni e per ultime le somme e le sottrazioni.

Il fatto che la moltiplicazione sia sopra la somma e la potenza sopra la moltiplicazione non è casuale. Infatti somma, prodotto e potenza sono legate tra loro da un’altra strettissima parentela come quella tra figlio, padre e nonno (padre del padre) in quanto UNA moltiplicazione vale quanto una serie di somme e la potenza equivale ad una serie di moltiplicazioni.

 

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3  (vale a dire 7 volte 3)   è uguale a  7 x 3   cioè  =  21

 

quindi, se UNA moltiplicazione sostituisce SEI somme, vuol dire che la moltiplicazione è molto più “potente” della somma.

Analogamente:

 

2 x 2 x 2 x 2     =     2⁴     =     32

 

per cui la potenza rappresenta e sostituisce una serie di moltiplicazioni.

Stesso discorso per la divisione che si può associare ad una serie di sottrazioni:

 

12 : 4 = 3

12 – 4 = 8      >         8 – 4 = 4        >         4 – 4 = 0

12  -  4  -  4  -  4  =  0

 

come vedete ho sottratto 3 volte il numero 4 e posso dire che il   “4”   sta nel   “12”    3 volte col resto di “0”.

 

Unico neo in questa mia schematizzazione sta nel fatto che la radice (quadrata, cubica ecc.) NON si calcola utilizzando le divisioni, ma ciò non toglie validità a questo prospetto per cui possiamo tranquillamente ignorare questo particolare e riassumere quanto detto finora in questa tabella che da ora in poi rappresenterà la base di ogni calcolo aritmetico e algebrico.  

In senso ORIZZONTALE la parentela tra le operazioni è paragonabile a quella tra due fratelli, in senso VERTICALE è quella gerarchica tra figlio, padre e nonno e l'operazione che sta SOPRA è più forte di quella che sta SOTTO:  

          

 

 

 

 

Successivo:   (2) Le equazioni