Giochi e Problemi

 
In questo capitolo vedremo come usare la logica e gli strumenti matematici (equazioni e sistemi di equazioni) per risolvere alcuni problemi che possiamo trovare in un esercizio o un compito in classe, ma anche quelli della Settimana Enigmistica.
Un esempio lo abbiamo già visto nel capitolo sui sistemi di primo grado     
Vediamo ora di approfondire la logica corretta da seguire per "capire" il problema e "tradurre" le informazioni che ci vengono date in "forma matematica"
 
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PROBLEMA  1:
 
  • chi è il FIGLIO del MARITO di mia MADRE?
 
Anche se questo esempio è volutamente facile da risolvere al volo, vediamo come si procede "matematicamente".
 
Bisogna partire dall'ultima informazione (dato) e procedere passo-passo a ritroso:
 
MADRE + MARITO = PADRE         (il MARITO di mia MADRE è mio PADRE)
PADRE + FIGLIO = FRATELLO    ( il FIGLIO di mio PADRE è mio FRATELLO)
 
Quindi la risposta è:
 
  • il FIGLIO del MARITO di mia MADRE è mio FRATELLO.
 
Semplice, no?
 
Vediamo ora un semplice problema matematico
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PROBLEMA  2:
 
  • il DOPPIO del TRIPLO del QUADRUPLO di un numero fa 24. Quale è quel numero?
 
Anche qui partiamo dalla fine:
 
numero = x
QUADRUPLO = 4x
TRIPLO = 3(4x)
DOPPIO = 2 [3(4x)]
 
quindi:
 
2[3(4x)] = 24
2[12x] = 24
24x = 24
x = 24/24 = 1
 
 
SEMPLICI TRUCCHI E SCORCIATOIE
 
Un numero generico lo possiamo chiamare come vogliamo: x, oppure A, oppure M, oppure usando le iniziali:
nel problema di prima
PADRE = P
MADRE = M
FIGLIO = F
 
  • Se vogliamo cercare un numero PARI conviene usare questo trucco
numero = 2x
perchè qualunque numero moltiplicato per due dà SEMPRE UN NUMERO PARI. Basta ricordarsi alla fine di moltiplicare la "x" trovata per DUE
 
  • Se vogliamo cercare un numero DISPARI conviene usare questo trucco:
numero = 2x + 1
perchè dopo un numero SICURAMENTE PARI c'è SEMPRE un NUMERO SICURAMENTE DISPARI
 
Quindi:
  • DUE NUMERI DISPARI saranno
A = 2x + 1
B = 2y + 1
 
 
  • Il consecutivo (o successivo) di un numero si trova AGGIUNGENDO  1
 
il successivo di     5 è  6
il successivo di   35 è  36 
il successivo di 145 è  146
il successivo di     0 è  1
 
ATTENZIONE:
 
il successivo di  -7  è  -6   e NON  -8 perchè
-7 + 1 = -6
 
il successivo di  -1  è  0
 
  • tre numeri consecutivi li scriviamo così:
A = x
B = x + 1
C = x + 2
 
  • tre numeri PARI consecutivi saranno:
A = 2x
B = 2x + 2
C = 2x + 4
 
perchè dopo un PARI c'è un DISPARI e poi di nuovo un PARI, quindi devo aggiungere 2.
 
Analogamente
 
  • tre numeri DISPARI consecutivi si scivono:
A = 2x + 1
B = 2x + 3
C = 2x + 5
 
un numero di due cifre
 
45 = 4*10 + 5
87 = 8*10 + 7
13 = 1*10 + 3
 
quindi un generico numero di due cifre lo "traduciamo" così:
 
numero A  = a*10 + b = 10a + b
 
e il suo successivo sarà:
 
numero A + 1 = 10a + b +1
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PROBLEMA  3:
 
  • se invertiamo le due cifre di un numero troviamo il suo DOPPIO diminuito di 6. Trovare il numero.
 
primo numero A = 10a + b
secondo numero B = 10b + a       (ho invertito le cifre)
 
dicendo " suo DOPPIO" intendiamo il DOPPIO del numero di partenza (A), quindi:
 
B = DOPPIO di A "diminuito" di 6, cioè:
 
B = 2A - 6
 
10b + a = 2(10a + b) - 6
10b + a = 20a + 2b - 6
10b - 2b = 20a - a - 6
8b = 19a - 6
 
Questa semplice equazione contiene DUE incognite ( "a" e "b" ), quindi serve un'altra informazione per poter individuare una soluzione unica ( vedi il Capitolo sui Sistemi di equazioni).
 
Come esempio, completiamo il PROBLEMA  3 con la seconda informazione:
 
le due cifre di un numero sono due numeri pari consecutivi. Se invertiamo le due cifre troviamo il suo DOPPIO diminuito di 6. Trovare il numero.
 
Abbiamo visto che due numeri PARI CONSECUTIVI si scivono:
 
a = 2x
b = 2x + 2
 
quindi la nostra equazione diventa
 
8b = 19 a - 6
8(2x + 2) = 19(2x) - 6
16x + 16 = 38x - 6
16x - 38x = -6 - 16
- 22x = - 22
         cambio TUTTO di segno ( moltiplicando TUTTO per -1)
22x = 22
x = 22/22 = 1
x = 1
 
Pertanto:
 
a = 2x = 2(1) = 2
b = 2x + 2 = 2(1) + 2 = 2 + 2 = 4
 
Concludendo:
 
primo numero A = 10a + b = 24
secondo numero B = 10b + a = 42
 
VERIFICA:
 
24 per due fa 48, 48 meno 6 fa 42
 
42 = 2*24 - 6
42 = 48 - 6
42 = 42
 
 
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PROBLEMA  4:
 
  • Ad una cena partecipano 16 persone. Il conto finale è di 400 euro e gli uomini, 9 in tutto, decidono di pagare una quota doppia di quella delle donne. Quanto verserà ogni uomo?
 
Per prima cosa:
 
16 persone - 9 Uomini = 7 Donne.
 
Quindi alla cena sono presenti
 
9 Uomini  =  9U
7 Donne    = 7D
 
Se il conto da dividere è di 400 euro, allora:
 
  • 9U + 7D =  400        (prima informazione = prima equazione).
 
Sappiamo poi che ogni Uomo paga il doppio di una Donna, quindi:
 
  • U  =  2D                    (seconda informazione = seconda equazione).
 
Sostituendo nella prima equazione il valore della incognita "U" ricavato dalla seconda equazione troviamo l'equazione risolutrice del nostro sistema di due equazioni in due incognite:
 
9(2D) + 7D  =  400
 
Risolviamo:
 
18D  +  7D  = 400
25D  =  400
D  =  400/25  =  16 
 
L'incognita "D" rappresenta la quota delle Donne, quindi ogni Donna paga 16 euro.
L'incognita "U" rappresenta la quota degli Uonimi, quindi ogni Uomo paga:
 
U  =  2D  =  2(16)  = 32 euro.
 
Quindi la risposta è:
 
  • ogni uomo paga 32 euro.
 
VERIFICA:
 
9(32)  +  7(16)  =  288  +  112  =  400     (C.V.D.)
 
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