Capitolo 6:  Le Fattorizzazioni

 

6.1    premessa

 

Nel capitolo precedente abbiamo visto i PRODOTTI NOTEVOLI che rappresentano uno strumento utilissimo per svolgere i calcoli in una espressione algebrica o in una equazione.

Essi non sono in assoluto indispensabili in quanto rappresentano solo delle "scorciatoie" per arrivare più velocemente al nostro risultato e se non siamo sicuri di ricordarceli bene possiamo sempre prendere la via più lunga di eseguire tutti i calcoli e le successive semplificazioni.

Dove viceversa non possiamo farne a meno è quando si tratta di riconoscere se un certo polinomio può essere trasformato nel prodotto di due altri polinomi, operazione che prende il nome di FATTORIZZAZIONE, cioè trasformare una somma di vari monomi nel prodotto di due polinomi.

 

So che ora arriva la domanda fatidica:

"ma che me ne frega a me di fare tutto ciò???"

 

Procediamo con ordine.

 

Se trovo delle frazioni come queste:

 

 

posso fare queste semplificazioni (perchè NON ci sono nè somme nè sottrazioni):

 

 

Invece in questi casi:

 

NON POSSO SEMPLIFICARE proprio perchè compaiono somme o sottrazioni. Un esempio per tutti:

 

qui ho semplificato sopra e sotto (dividendo) per " 2 " ed ho trovato il risultato " 3 " che è giusto.

 

Se invece cerco di sottrarre " 1 " combino un disastro perchè:

e so per certo che 6 diviso 2 fa 3 e non certo 5

 

Ricapitolando:

  • posso MOLTIPLICARE o DIVIDERE numeratore e denominatore per la stessa quantità e il risultato non cambia
  • NON posso SOMMARE  o SOTTRARRE lo stesso numero (o lettera) a numeratore e denominatore perchè CAMBIA IL RISULTATO e quello che trovo E' SBAGLIATO !!!

 

Ecco quindi la risposta alla "domanda fatidica":

  • per poter semplificare una frazione algebrica DEVO trasfomare sia il numeratore che il demonimatore in PRODOTTI di polinomi e sperare di trovare polinomi IDENTICI che posso semplificare.

 

Esempio:

non è semplificabile.

 

Invece la frazione

contiene due binomi IDENTICI (5a - b) che posso semplificare e "mandare via" perchè qualunque cosa divisa per sè stessa fa sempre " 1 " o se preferite qualunque cosa sta dentro sè stessa UNA VOLTA.

 

A T T E N Z I O N E:

questa frazione

 

 

NON è semplificabile per colpa di quel " +3 " al numeratore. Vediamo di comprendere bene il perchè.

 

Il numeratore è formato da tre "oggetti":

  1.     (2a + 3b)
  2.     (5a - b)
  3.     3

I primi due sono due BI-NOMI (cioè sono somme algebriche di monomi) ma essendo racchiusi tra parentesi formano ciascuno un "oggetto" unico, come se fossero chiusi dentro una scatola (rappresentata appunto dalle parentesi). Quindi ho tre scatole, le prime due sono moltiplicate tra loro ed una, la terza che contiene solo il numero " 3 ", è SOMMATA alle altre due. Quindi il  numeratore è la SOMMA di [(2a + 3b)(5a - b)] e di  [ 3 ] . Lo vedremmo meglio se il numeratore lo scrivessimo così:

  •     [(+2a + 3b)(+5a - b)] + [ +3 ]

ma, ovviamente, la nostra pigrizia ci induce a sottindendere in questo caso anche le parentesi quadre e scrivere più semplicemente

  •     (2a + 3b)(5a - b) + 3

 

Pertanto nessuno dei tre oggetti al numeratore è semplificabile proprio perchè tutti insieme formano una SOMMA.

 

 

6.2    raccoglimento a fattor comune

 

La prima cosa che BISOGNA SEMPRE controllare (e FARE) è RACCOGLIERE se possibile.

Cosa intendo? Se ho:

 

  •     3(2a + b)        moltiplico e trovo        6a + 3b

cioè

  •     3(2a + b)  =  6a + 3b

Siccome in matematica tutto quello che vale in un senso DEVE valere anche nel senso inverso

            (cioè se    A = B    allora    B = A),

leggiamo l'ultima cosa alla rovescia

  •     6a + 3b  =  3(2a + b)

Cosa è successo? 

 

Siccome 6a e 3b hanno in comune il fattore 3, ho messo in evidenza (raccolto) proprio il fattore che avevano in comune e ho scritto:

  •     3 che moltiplica: aperta parentesi 2a (cioè 6a diviso 3) più b (cioè 3b diviso 3)
  •     6a + 3b  =  (+2)(+3)a + (+3)b  =  (+3)(+2a + b)  =  3(2a + b)

 

Quindi:

  • 6.2-1    Se TUTTI i monomi che compongono un polinomio hanno uno o più FATTORI COMUNI posso RACCOGLIERE ( o METTERE IN EVIDENZA)  questi FATTORI COMUNI e dividere TUTTI i monomi applicando sempre la REGOLA DEI SEGNI.

 

Vediamo altri esempi.

 

  •     6x - 8y + 10  =  (2)(3)x - (2)(2)(2)y + (5)(2)  = +2(3x - 4y + 5)
  •     10a2 - 15ab  =  (2)(5)(a)(a) - (3)(5)(a)(b)  = +5a(2a - 3b)

 

Posso anche mettere in evidenza un segno "MENO" se mi fa comodo:

  •     -2a -3b  =  +(-1)(2a) + (-1)(3b)  =  (-1)(2a + 3b)  =  -(2a + 3b) 
  •     -x + y  =  -(x - y)
  •     B - A  =  -(-B + A)  =  -(A - B)  


Vediamo di mettere a frutto tutto questo per cominciare a semplificare delle frazioni.

 

 

Vedete l'utilità di mettere in evidenza un segno MENO per poter semplificare due polinomi che differiscono tra loro solo per i segni dei loro monomi.

 

ATTENZIONE

 

Se dico che

AB + AC = A(B + C)

intendo dire che posso raccogliere QUALUNQUE FATTORE COMUNE: un coefficiente, una lettera, un monomio ma anche un polinomio.

 

Esempi:

 

(2a+5b)(3a -1) + (2a+5b)(4a+3b) = (2a+5b)*[(3a -1) + (4a+3b)] =

                                                                       = (2a+5b)(7a+2b)

 

(a+2)3 - (a+2)2 = (a+2)2*[(a+2) - 1] = (a+2)2(a+1)

 

(6a+9b)(x+y) - (4a+6b) = 3(2a+3b)(x+y) - 2(2a+3b) =

                                                = (2a+3b)[3(x+y) - 2] 

 

Come vedete bisogna SEMPRE fare PER PRIMO il RACCOGLIMENTO, perchè poi si riescono a fare molte semplificazioni, altrimenti impossibili.

 

Vedrò al più presto di aggiungere altri esempi e di cominciare a aggiungere anche alcuni esercizi per fare pratica. In ogni caso se avete voi degli esercizi che non riuscite a fare da propormi, sarò ben lieto di aiutarvi a risolverli.  

 

 

 

ESERCIZI

-Esercizio 6.2-a
 
  1.     12x + 18y - 9  =     ?                 4 punti
  2.     -m -n -2          =     ?                 3 punti
  3.     -m +n -2         =     ?                 3 punti
  4.     -m +n +2        =     ?                 3 punti
  5.     2x2 + 6x          =     ?                 4 punti
  6.     7abx - 6mny    =     ?                 3 punti
  7.     5abx + 9aby    =     ?                 5 punti
  8.     a2bx + ab2y     =     ?                 5 punti
 
 
 
 

6.3    raccoglimento doppio

 

Solo nel caso di polinomi con quattro, sei monomi (o comunque un numero PARI di monomi) può succedere questo:

 

  •     AX + AY + BX + BY
  •     AX + AY + AZ + BX +BY + BZ
 
Come vedete non c'è un termine (o meglio: un fattore) che compaia in TUTTI i monomi, però se li considero a due a due (nel primo caso) o a tre a tre (nel secondo) qualcosa da raccogliere c'è. Prendiamo il primo:
 
AX + AY + BX + BY  =  [AX + AY] + [BX + BY]  = A(X + Y) + B(X + Y)
 
ora abbiamo due oggetti:
  •     A(X + Y)

e

  •     B(X + Y)

Questi due oggetti hanno in comune  il fattore  ( X + Y )    che posso raccogliere:

 

  •     AX + AY + BX + BY  =  A( X + Y ) +B( X + Y )  =  (X + Y)(A + B)

 

e questa è la nostra fattorizzazione. Si chiama DOPPIO RACCOGLIMENTO proprio perchè si fa in due volte raccogliendo prima a due a due sperando di trovare due binomi IDENTICI per fare il secondo raccoglimento.

 

Analogamente nel secondo caso con sei monomi:

 

    AX + AY + AZ + BX +BY + BZ  = A( X + Y + Z )  +B( X + Y + Z )

                                                  =  ( X + Y + Z )( A + B )

 

 

Ovviamente NON tutti i quadrinomi gli esa-nomi ( ed in generale i polinomi "pari") si possono fattorizzare in questo modo. L'unico modo per scoprirlo è PROVARE: se dopo il primo raccoglimento parziale troviamo due "oggetti" IDENTICI, allora possiamo procedere al secondo e definitivo raccoglimento. In caso contrario, CICCIA !!! Al polinomio non si può applicare il raccoglimento doppio e dovremo tentare altri metodi...

 

Ora qualche esercizio.

 

6x + 8y + 9ax + 12ay  =  2(3x + 4y) + 3a(3x + 4y)  =  (3x + 4y)(2 + 3a)

 

5a + 5b -ax -bx  =  5(+a + b)  -x(+a +b)  =  (a + b)(5 - x)

 

ATTENZIONE: non è obbligatorio raccogliere sempre tra i primi due e poi tra il terzo e quarto.

Si può scegliere di raccogliere "+a" tra il primo ed il terzo e poi "+b" tra il secondo ed il quarto ed il risultato (ovviamente) non cambia:

 

5a + 5b -ax -bx  =  +a(5 - x) +b(5 - x)  =  (5 - x)(a + b)

 

 

2ax - 2a + 3x - 3  =  +2a(+x - 1) +3(+x - 1)     =  (x - 1)(2a + 3)

2ax - 2a + 3x - 3  =  +x(+2a + 3) -1(+2a + 3)   =  (2a +3)(x - 1)

 

ESERCIZI  > vai alla pagina

 

 

6.4    differenza di due quadrati

 

Abbiamo visto nel capitolo precedente ( 4.1 )  il prodotto notevole "somma per differenza". Ora è il momento di "leggerlo" al contrario per poter fattorizzare binomi del tipo

 

  •     A2 - B2

 

RICAPITOLIAMO:

  •     (A + B)(A - B)  = AA - AB + BA - BB  =  A2 - B2

cioè

  •     (A + B)(A - B)  =  A2 - B2

 

Ora rovesciando l'uguaglianza abbiamo:

 

  •     A2 - B2  =  (A + B)(A - B)

 

quindi se ho due monomi che sono entrambi il quadrato di altri due monomi (chiamati "basi") e sono SOTTRATTI, posso fattorizzare con la seguente regola:

 

  • 6.4-1    la differenza di due quadrati è il prodotto della somma delle due basi per la loro differenza

 

Esempi

 

    9x2 - 16y2  =  (3x)2 - (4y)2  =  (3x + 4y)(3x - 4y)

 

    25a2 - 1  =  (5x)2 - ( +1 )2  =  (5x + 1)(5x - 1)

 

    x2 - y2  =  (x)2 - (y)2  =  (x + y)(x - y)

 

 

6.5    somma o differenza di due cubi

 

In questo caso mi limiterò a darvi subito la formula

 

A3 + B3  =  (A + B)(A2 + B2 - AB)

A3 - B3  =  (A - B)(A2 + B2 + AB)

 

che possiamo riassumere così:

 

  • 6.5-1    la somma di due cubi è uguale al prodotto della somma delle due basi per il loro FALSO QUADRATO (invece del doppio prodotto c'è il prodotto semplice delle due basi COL SEGNO SBAGLIATO)
  • 6.5-2    la differenza di due cubi è uguale al prodotto della differenza delle due basi per il loro FALSO QUADRATO (invece del doppio prodotto c'è il prodotto semplice delle due basi COL SEGNO SBAGLIATO)

 

 

6.6    quadrato di binomio

 

Nel capitolo sui prodotti notevoli abbiamo visto COME SI ESEGUE il quadrato di un binomio.

 

(A + B)2 = A2 + B2 + 2AB

(A - B)2 = A2 + B2 - 2AB

 

Ora vediamo COME SI RICONOSCE il quadrato di un binomio per poterlo FATTORIZZARE.

 

Prendiamo il trinomio

 

25x2 + 40xy + 16y2

 

Se pensiamo che possa essere il quadrato di un binomio, dobbiamo cercare

  1. il quadrato del primo monomio     (SEMPRE POSITIVO)
  2. il quadrato del secondo binomio   (SEMPRE POSITIVO)
  3. il doppio prodotto dei due binomi

 

  • 25x2     >    è il quadrato di 5x (candidato numero uno)
  • 40xy     >    NON è un quadrato 
  • 16y2     >    è il quadrato di 4y (candidato numero due)

 

Quindi  +40xy  potrebbe (o dovrebbe) essere il doppio del prodotto dei due "candidati"

 

Proviamo:

2(5x)(4y) = 2(20xy) = 40xy         >>>>>    BINGO!!!

 

Allora:

25x2 + 40xy + 16y2  = (5x + 4y)2

 

  • ATTENZIONE: in mezzo ho messo il segno "+" perchè nel mio trinomio il DOPPIO PRODOTTO (40xy) E' POSITIVO. Se il DOPPIO PRODOTTO fosse NEGATIVO, avrei:

 

25x2 - 40xy + 16y2 = (5x - 4y)2

 

Altro esempio:

 

9a2 - 30a + 25 = ?

  • +9a2 = (3a)2
  • -30a = ?
  • +25 = (5)2

doppio prodotto = 2(3a)(5) = 30a    >>>>>>  ok

Quindi:

9a2 - 30a + 25 = (3a - 5)2        (il DOPPIO PRODOTTO "-30a" è NEGATIVO)

 

Terzo esempio

 

2x2 + 2y2 + 4xy = ?

 

Come credo di aver già detto, E' SEMPRE OBBLIGATORIO cercare (e fare) il RACCOGLIMENTO, quindi:

 

2x2 + 2y2 + 4xy = 2(x2 + y2 + 2xy) = 2(x + y)2

 

 

6.7    trinomio caratteristico

 

Va detto che non tutti i polinomi sono fattorizzabili perchè NON SEMPRE sappiamo trovare due OGGETTI che, moltiplicati tra di loro, mi diano come risultato il polinomio che ho davanti. E' esattamente come voler scomporre un numero nei suoi fattori primi.

6    =  3 x 2     =    1 x 6     (banale)

10  =  5 x 2     =    1 x 10   (banale)

15  =  5 x 3     =    1 x 15   (banale)

eccetera.

Il numero  17  NON HA DIVISORI PRIMI a parte sè stesso e il numero banale  "1", infatti lui stesso è chiamato NUMERO PRIMO.

 

  • DEFINIZIONE    si chiamano NUMERI PRIMI quei numeri che si possono dividere SOLO per 1 e per sè stessi.

 

Quindi possiamo fattorizzare SOLO quei polinomi che sappiamo riconoscere, proprio della serie "ah, ma questo l'ho già visto!".

Per imparare a riconoscere il TRINOMIO CARATTERISTICO vediamo come nasce, partendo da questi esempi:

 

  1. (a + 3)(a + 4)  =  a2 + 4a + 3a + 12    =  a2 + 7a + 12
  2. (b + 2)(b + 3)  =  b2 + 3b + 2b + 6     =  b2 + 5b + 6
  3. (x + 4)(x + 5)  =  x2 + 5x + 4x + 20   =  x2 + 9x + 20

 

Cerchiamo ora di vedere cosa hanno in comune i trinomi finali:

  1. a2 + 7a + 12
  2. b2 + 5b + 6
  3. x2 + 9x + 20

 

A)    sono tutti e tre TRINOMI DI SECONDO GRADO

  1. a2 + 7a + 12   =  +1a2 + 7a1 + 12a0
  2. b2 + 5b + 6    =  +1b2 + 5b1 + 6b0
  3. x2 + 9x + 20  =  +1x2 + 9x1 + 20x0

 

ricordando che

  •     a1  =  a
  •     b1  =  b
  •     x1  =  x

 

e che

  •     a0  =  b0  =  x0  =  (qualunque cosa)0  =  1

 

B)    il primo coefficiente (quello del termine di SECONDO GRADO) è  1

C)    il secondo coefficiente (quello del termine di PRIMO GRADO) è la somma dei due termIni noti dei due binomi

D)    il terzo coefficiente (il TERMINE NOTO di GRADO ZERO) è il prodotto degli stessi due termini noti dei due binomi di partenza.

 

Vediamolo ancora:

 

  1. (a + 3)(a + 4)  =  a2 + (4 + 3)a + (3*4)    =  a2 + 7a + 12
  2. (b + 2)(b + 3)  =  b2 + (3 + 2)b + (2*3)   =  b2 + 5b + 6
  3. (x + 4)(x + 5)  =  x2 + (5 + 4)x + (4*5)   =  x2 + 9x + 20
  4. (y + a)(y + b)   =  y2 + (a + b)y + ab

 

Quindi:

 

(m + 6)(m + 3)  =  m2 + 9m + 18          ecc. ecc. ecc.

 

Ovviamente tutto ciò vale anche quando i segni non sono tutti positivi:

 

(a + 3)(a + 2)  =  a2 +(+3 + 2)a + (+3)(+2)  =  a2  +5a  +6

(a - 3)(a - 2)  =  a2 +(-3 -2)a + (-3)(-2)      =  a2   -5a  +6

(a + 3)(a - 2)  =  a2 +(+3 - 2)a + (+3)(-2)   =  a2  +a  -6

(a - 3)(a +2)  =  a2 + (-3 +2)a + (-3)(+2)    =  a2  -a  -6

 

Dato che questa regoletta ("somma e prodotto") mi consente di risparmiare un passaggio moltiplicando due binomi particolari del tipo  (x+a)(x+b) potevo anche aggiungerli ai vari PRODOTTI NOTEVOLI (vedi capitolo 4) ma ho preferito parlarne ora perchè ci serve per un importante tentativo di FATTORIZZAZIONE:

 

  • quando trovo un TRINOMIO CARATTERISTICO del tipo    x2 +mx +n    (i segni + sono da considerarsi "somme algebriche" cioè possono essere  PIU' o MENO) posso scomporlo nel prodotto di due binomi del tipo  (x+a)(x+b)  SE e SOLO SE  trovo DUE numeri   a e b   tali che:
  • a + b  =  m
  • a*b   = n

 

Come si procede?  Vediamolo insieme prendendo ad esempio questo trinomio

 

x2 + 10x + 21

 

Partiamo SEMPRE dal termine noto   21  che posso scomporre SOLO così

(+/-)1   per   (+/-)21

(+/-)3   per   (+/-)7

 

Ora si tratta solo di fare le prove con le somme:

 

  1.     +1 + 21  =  +22
  2.     +1 - 21  =  -20
  3.     -1 + 21  =  +20
  4.     -1 - 21   =  -22
  5.     +3 + 7    = +10
  6.     +3 -7     =  -4
  7.     -3 +7     =  +4
  8.     -3 -7     =  -10

 

Come vedete la somma n. 5  ( +3 + 7 ) ci dà come risultato +10, quindi so che posso FATTORIZZARE così:

 

x2 + 10x + 21 =  (x + 3)(x + 7)

 

Riprendendo (per semplice pigrizia) le otto somme già fatte prima e lo stesso TERMINE NOTO  21  abbiamo questi altri esempi:

 

  1.     +1 + 21  =  +22     >     x2 + 22x +21    =   (x +1)(x +21)
  2.     +1 - 21  =  -20      >     x2 - 20x -21     =   (x +1)(x -21)
  3.     -1 + 21  =  +20     >     x2 + 20x -21     =   (x -1)(x +21)
  4.     -1 - 21   =  -22     >     x2 -22x + 21     =   (x -1)(x -21)
  5.     +3 + 7    = +10     >     x2 +10x + 21     =   (x +3)(x +7)
  6.     +3 -7     =  -4       >     x2 -4x -21         =   (x +3)(x -7)
  7.     -3 +7     =  +4      >     x2 +4x -21         =   (x -3)(x +7)
  8.     -3 -7     =  -10     >     x2 -10x +21        =   (x -3)(x -7)

 

Osservando attentamente i trinomi al centro (quelli che dobbiamo FATTORIZZARE) possiamo notare due cose importanti che ci permettono di ridurre al minimo le prove da fare per trovare (se ci sono) i due numeri a e b che ci servono:

 

  • se il termine noto (21) è POSITIVO allora a e b sono di segno uguale (o tutti e due positivi o tutti e due negativi) perchè PIU' PER PIU' fà PIU' ma anche MENO PER MENO fà PIU';
  • se il termine noto (21) è NEGATIVO allora a e b sono di segno opposto (uno positivo e l'altro negativo) perchè PIU' PER MENO fà MENO. Inoltre se il coefficiente della x è POSITIVO il numero maggiore è positivo e quello minore è negativo, se il coefficiente della x è NEGATIVO il nunero più grande è negativo e il più piccolo è positivo. 

 

Facciamo ora un esempio divertente (e importante):

 

ricordate il QUADRATO DI BINOMIO (vedi capitolo 5)?

io mi raccomando di farlo così

 

(a + b)2   =   a2 + b2 +2ab

(a - b)2   =   a2 + b2 -2ab

 

per evidenziare che i due quadrati sono sempre positivi e il doppio prodotto prende il segno che c'è nel binomio.

 

Se ho:

 

  • (x + 1)2 = x2 + 1 +2x  =( posso scrivere )=  x2 + 2x +1

 

e non dovessi riconoscere che   x2 + 2x +1   è il quadrato di   (x + 1)   posso provare la regola del TRINOMIO CARATTERISTICO.

 

Quindi:

        PRODOTTO  =  +1   =   (+1)(+1)   =   (-1)(-1)

        SOMME            +1 +1   =   +2          OK 

                          -1 -1    =    -2           NO

quindi

 

  • x2 + 2x +1   =   (x + 1)(x + 1)   =   (x + 1)2 

                                      

Analogamente

 

  • x2 - 2x +1

 

                  PRODOTTO  =  +1   =   (+1)(+1)   =   (-1)(-1)

                  SOMME            +1 +1   =   +2          NO

                             -1 -1    =   -2          OK

 

  • x2 - 2x +1   =   (x - 1)(x - 1)   =   (x - 1)2 

 

Come Volevasi Dimostrare (CVD), o se preferite

Come Dovevasi Dimostrare (CDD)

 

 

6.8    metodo di Ruffini

 

C'è anche un'altra possibilità di scomporre un polinomio di grado "n" nel prodotto di un binomio del tipo (x + a) per un polinomio di grado "n-1", chiamato Metodo (o regola) di Ruffini.

Prendiamo un polinimio di terzo grado:

 

P(x) = 2x3 -3x2 -5x +6

 

Consideriamo i divisori del termine noto " 6 "

  •     +1   e   -1
  •     +2   e   -2
  •     +3   e   -3
  •     +6   e   -6

Dobbiamo sostituire alla "x" questi sei valori, sperando che almeno una volta il risultato sia ZERO.

 

  1. P(+1) = 2(+1)3 -3(+1)2 -5(+1) +6 = 2(1) -3(1) -5(1) +6 = 0
  2. P(-1) = 2(-1)3 -3(-1)2 -5(-1) +6 = 2(-1) -3(+1) -5(-1) +6 = +6
  3. P(+2) = 2(+2)3 -3(+2)2 -5(+2) +6 = 2(8) -3(4) -5(2) +6 = 0
  4. P(-2) = 2(-2)3 -3(-2)2 -5(-2) +6 = 2(-8) -3(4) -5(-2) +6 = -16
  5. P(+3) = 2(+3)3 -3(+3)2 -5(+3) +6 = 2(27) -3(9) -5(3) +6 = 18
  6. P(-3) = 2(-3)3 -3(-3)2 -5(-3) +6 = 2(-27) -3(+9) -5(-3)+6= -40

 

Ho fatto tutte e sei le prove solo come esemplificazione di come si calcola P(a) partendo da un generico P(x).

In realtà già dopo la prima prova so che posso scomporre il mio polinomio in questo modo:

  •     2x3 -3x2 -5x +6 = (x - 1)*(mx2 + nx + p)

oppure, avendo fatto anche le altre prove, anche così:

  •     2x3 -3x2 -5x +6 = (x - 2)*(ux2 + vx + r)

dove i polinomi  (mx2 + nx + p)   o   (mx2 + nx + p) sono da trovare, ed ora vedremo come.

 

Prima però è fondamentale notare che

  •     se P(a)  =  0  allora il polimonio P(x) è divisibile per (x -a)
  •     se P(-a) = 0  allora il polinomio P(x) è divisibile per (x +a)

 

Ora facciamo questo semplice schemino:

 

 

dove scriviamo i coefficienti del polinomio isolando il termine noto (quello senza la "x") perchè in quella casella troveremo il resto della divisione e nell'angolo sinistro riportiamo il numero che fa diventare ZERO il polinomio (riga n.1 evidenziata in giallo). Dato che dobbiamo FATTORIZZARE nella casella del resto DEVE venire come risultato il valore ZERO.

Ora "abbassiamo" il primo numero, lo moltiplichiamo per "+1" e scriviamo il risultato sotto il secondo termine.

 

Ora facciamo la somma algebrica trovando " -1 " e la scriviamo sotto:

Di nuovo moltiplichiamo per "+1", riportiamo sopra (linea rossa) e poi sommiamo (linea blu):

Ancora un piccolo sforzo ed abbiamo finito. Se abbiamo fatto tutti i calcoli bene ora DOBBIAMO trovare ZERO:

nuovamente moltiplichiamo "-6" per "+1" trovando "-6", riportiamo sopra e poi sommiamo:

Fatto! La divisione è esatta (cioè il resto è ZERO) ed ora abbiamo i coefficienti del polinomio quoziente:

il suo grado sarà (ovviamente) inferiore di una unità (n - 1), in questo caso il polinomio P(x) ha grado TRE e il quoziente avrà grado DUE.

Basta aggiungere le potenze decrescenti dell "x" partendo appunto da "x2":

  Q(x) =    2x2   - x    - 6    

 

Quindi la fattorizzazione è la seguente:

 

  •     2x3 -3x2 -5x +6  =  (2x2 -x -6)(x - 1)

 

ricordando che il valore trovato " +1 " (ricordate la riga n.2  P(+1) = 0 ) va cambiato di segno e DEVO scrivere (x - 1) e NON (x + 1).

 

Adesso, siccome il quoziente è di secondo grado e NON PUO' essere nè un trinomio caratteristico (il primo coefficiente NON è " 1 ") nè il quadrato di un binomio ( " 6 " non è un quadrato perfetto e neanche " 2x2 "), possiamo riprovare il metodo Ruffini. 

I divisori del termine noto sono sempre

  1.     +1
  2.     -1
  3.     +2
  4.     -2
  5.     +3
  6.     -3
  7.     +6
  8.     -6

Cominciamo a fare le prove col polinomio P(x) = 2x2 -x -6

 

  1.     P(+1) = 2(+1)2 - (+1) - 6 = 2(1) -1 -6 = -5
  2.     P(-1) = 2(-1)2 - (-1) - 6 = 2(1) +1 -6 = -3
  3.     P(+2) = 2(+2)2 - (+2) - 6 = 2(4) -2 -6 = 0
     

Ora non serve proseguire le prove perchè abbiamo trovato il valore che ci "azzera" il polinomio e possiamo partire col nostro schemino:

abbassiamo il primo ternine, lo moltiplichiamo per il numero che abbiamo trovato alla riga n. 3 e scriviamo il risultato sotto il secondo termine (tracciato rosso) poi sommiamo (tracciato blu)

Ripetiamo il procedimento solo per controllare se il resto della divisione è ZERO, dopodichè possiamo scrivere la fattorizzazione:

  <  come volevasi dimostrare

             2x     +3  

 

Allora

 

    Q(x) =   (2x +3)(x - 2)     

 

quindi ricapitoliamo che il nostro polinomio di partenza e scomposto così:

 

P(x) = 2x3 -3x2 -5x +6  =  (2x2 -x -6)(x - 1)

 

P(x) = 2x3 -3x2 -5x +6  =  (2x + 3)(x - 2)(x - 1)

 

 

A T T E N Z I O N E:

                    

Il metodo di Ruffini è una vera DIVISIONE tra un qualsiasi polinimio ed un BIMONIO del tipo (x + a)  e pertanto si può fare SEMPRE. L'unico problema è questo:

SE IL RESTO NON E' "ZERO" A NOI NON SERVE A NIENTE PERCHE' NON CI FORNISCE UNA FATTORIZZAZIONE, QUINDI NON POSSIAMO SEMPLIFICARE L'EQUAZIONE O L'ESPRESSIONE, QUINDI SAREBBE UNA FATICA SPRECATA! CI TROVEREMMO CIOE' UN RISULTATO TIPO  (2x2 + 3x -5)(x - 2) + 3  CHE NON E' SEMPLIFICABILE, COME ABBIAMO VISTO NELLA PREMESSA (6.1)

 

Se il POLINOMIO è INCOMPLETO nel nostro schemino DOBBIAMO mettere "ZERO" dove mancano le corrispondenti potenze della " x ".

 

So che questa ultima affermazione è poco chiara, quindi vediamo cosa intendo:

 

    (3x4 -9x3 -x +3) : (x - 3)

 

Come vedete manca il termine di SECONDO GRADO (cioè manca la x2) perchè il mio polinomio dovrebbe essere scritto così:

P(x)    =    3x4 -9x3 -x +3     =     3x4 -9x3 +(0)x2 -x +3

per cui il mio schema sarà:

           (3x4   -9x3             -x     +3)      

                3x3                         -x   

 

e la divisione sarà:

 

 (3x4 -9x3 -x +3) : (x - 3) = (3x3 - 1)

 

 o, se preferite, la fattorizzaione è:

 

 (3x4 -9x3 -x +3)  =  (3x3 -x) (x - 3)

 

 

NOTA  BENE

 

Il metodo di Ruffini parla dei DIVISORI del TERMINE NOTO e fino a qui abbiamo fatto le prove utilizzando solo i divisori INTERI del TERMINE NOTO, Ovviamente ci sono INFINITI divisori del termine noto se considerassimo anche le FRAZIONI:

5 = (5/7) x 7 = (5/9) x 9 = (5/2) x 2 = ecc, ecc.

Per questo motivo in generale non ha senso perdere giornate intere a fare centinaia di prove.

Però se vi danno un esercizio specifico sul tema delle fattorizzazioni, significa che trovare il termine giusto per poter applicare Ruffini non deve essere particolarmente complicato, quindi bisogna usare un pò di astuzia. 

L'astuzia consiste nel RACCOGLIERE il coefficiente del termine di grado massimo e, dopo, cercare i divisori (di solito frazionari) del temine noto ottenuto. Facciamo un esempio:

  

I divisori del termine noto (1/6) sono ovviamente infiniti, la la logica ci porta a provare per primi quelli "facili", cioè:

+/-(1/2)

+/-(1/3)

+/-(1/6)

Facendo le prove questa volta siamo fortunati perchè al primo tentativo troviamo:

quindi il nostro polinomio è divisibile per (x - 1/2)

  • ricordate che
  • se P(+a) = 0   allora il polinomio è divisibile per (x - a)
  • se P(-b) = 0   allora il polinomio è divisibile per (x +b)

cioè:

Quindi se si trattasse di una equazione, ponendo uguale a zero sia il binomio che il trinomio, possiamo calcolare le soluzioni.

Una, la prima, è sicuramente accettabile

x = 1/2

invece nel secondo caso non è detto che le soluzioni siano valide (nel Campo dei Numeri Reali) pechè sotto la radice della formula risolutiva potrebbe venire un numero negativo.

 

Ora abbiamo tutti gli elementi per stilare quello che io chiamo (e scusatemi la non voluta mancanza di rispetto)

 

IL VANGELO DELLE FATTORIZZAZIONI

BINOMI

  1. RACCOGLIMENTO
  2. DIFFERENZA DI QUADRATI
  3. SOMMA O DIFFERENZA DI CUBI
  4. RUFFINI

TRINOMI

  1. RACCOGLIMENTO
  2. QUADRATO DI BINOMIO
  3. TRINOMIO CARATTERISTICO
  4. RUFFINI

QUADRINOMI

  1. RACCOGLIMENTO TOTALE
  2. RACCOGLIMENTO PARZIALE
  3. CUBO DI BINOMIO
  4. RUFFINI

ESANOMI

  1. RACCOGLIMENTO TOTALE
  2. RACCOGLIMENTO PARZIALE
  3. RUFFINI

.

 

Questi sono tutti i metodi che abbiamo a disposozione per TENTARE di scomporre un polinomio nel prodotto di due o più polinomi (ovviamente più "piccoli" di quelli di partenza), e SPERARE di poter semplificare l'espressione o l'equazione che ci troviamo davanti.

Se nessun tentativo ottiene questo risultato, significa che il polinomio NON SI PUO' fattorizzare e va lasciato così com'è.

Tenete però presente che se vi viene dato un esercizio di questo tipo vuol dire che SI PUO' fattorizzare (sempre che non sia una domanda trabocchetto!), quindi provando e riprovando il metodo giusto per la fattorizzazione si DEVE trovare.

Avrete notato che ho puntigliosamente ripetuto il RACCOGLIMENTO perchè è indispensabile, anzi obbligatorio, fare SEMPRE per prima cosa il RACCOGLIMENTO (totale o parziale).

 

Ora qualche esercizio da fare:

ESERCIZI

-Esercizio 6.6-a

  1. x2 - 9x +8           =   ?            5 punti
  2. y2 + 10y + 25      =   ?            5 punti
  3. a2 - 2a - 15         =   ?            5 punti
  4. b2 +b -30            =   ?            5 punti
  5. m2 +m -6            =   ?            5 punti
  6. x2 +12x +4         =   ?           5 punti

 

-Riepilogo 6.R-a

         

 

Inviatemi le risposte qui:   carlogiannini@email.it

 

Se mi autorizzate pubblicherò i vostri voti.

    (Chissà, potremmo fare un piccolo CAMPIONATO DI MATEMETICA)

 

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..............ultimo aggiornamento 21 febbraio 2014.................

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