Capitolo 3: monomi, polinomi e le loro operazioni

 

3.1    Monomi e polinomi

 
La cellula fondamentale del calcolo algebrico è il monomio che è un "agglomerato" di numeri e lettere uniti tra loro SOLO da moltiplicazioni, divisioni e potenze o radici.
 
 
sono tutti monomi, invece
 
a + 2                        è un BINOMIO,
3a + 5b + 7            è un TRINOMIO,
a + 5b + m - 6       è un QUADRINOMIO
 
eccetera. In generale si chiamano POLINOMI. Quindi:
 
i  POLINOMI  sono somme algebriche (cioè somme e sottrazioni aritmetiche) di due o più MONOMI.
 

Prendiamo ora il MONOMIO            3mx   

 
La parte numerica del monomio (col segno)         +3        si chiama        COEFFICIENTE
tutto il resto                                                        mx        si chiama        PARTE LETTERALE
 
 
 

3.2    Somme (algebriche) coi monomi

 
I monomi si possono sommare e sottrarre tra loro SOLO se hanno la stessa identica parte letterale.

Come sempre facciamo riferimento alla vita reale: se sto facendo l'inventario in un ristorante e scrivo

 

3 tavoli rotondi + 4 tavoli quadrati + 2 tavoli rotondi + 5 tavoli esagonali + 7 tavoli quadrati

 

è chiaro che posso sommare tra di loro solo gli oggetti uguali (identici), quindi sommerò i tavoli rotondi (3 + 2 = 5) e i tavoli quadrati (4 + 7 = 11)

 

TOTALE = 5 tavoli rotondi + 11 tavoli quadrati + 5 tavoli esagonali

 

Se uso delle abbreviazioni (tavoli rotondi = TR, tavoli quadrati  = TQ e tavoli esagonali = TE) avrò:

 

        3 TR + 4 TQ + 2 TR + 5 TE + 7 TQ   =   5 TR + 11 TQ + 2 TE

 

Analogamente:
 
        3a + 4b + 2a + 5c + 7a   =   5a + 11b + 2c
        8x + 2y - 3x + y   =   5x + 3y         
 
 ricordando che quando davanti ad una lettera non c'è niente si sottintende che ci sia scritto " +1 " cioè
 
        a   =   +1a
        x   =   +1x        eccetera.
 
Tornando all'esempio del ristorante, facendo l'inventario trovo
 
15 tavoli e 60 sedie    nella prima sala
10 tavoli e 40 sedie    nella seconda sala
  5 tavoli e 20 sedie    nella terza sala
 
che posso sintetizzare così:
 
        prima sala                           seconda sala                        terza sala
(15 tavoli + 60 sedie) + (10 tavoli + 40 sedie) + (5 tavoli + 20 sedie)
 
 e se "tavolo" lo chiamo "a" e "sedia" la chiamo "b" avrò:
 
  (15a + 60b) + (10a + 40b) + (5a + 20b)  =
    =  15a + 60b + 10a + 40b + 5a + 20b  = 30a + 120b 
 
 

 

3.3    Moltiplicazioni e divisioni di monomi

 

La regola fondamentale delle moltiplicazioni (e delle divisioni) dei monomi è la seguente:

 

più x più             =   più                    (+)(+) = (+)

più x meno         =   meno                  (+)(-) = (-)

meno x meno      =   più                     (-)(-) = (+)

 

cioè:

 

(+4)(+3) =   +12 

(+2)(-5) =   - 10

(-7)(+1) =   - 7

(-5)(-4) =   + 20

 

(+a)(+b)      =  (+1a)(+1b)  =  +1ab      (che si scrive abbreviato)      =  ab

(+3m)(-4n)  =  (+3m)(-4n) =  -12mn

(-5x)(+y)     =  (-5x)(+1y)  =  -5xy

(-3a)(-2x)    =  +6ax

 

Quindi per moltiplicare due monomi bisogna

  • 3.3-1   PRIMA calcolare il segno (con la regola del "più per più", più per meno" ecc.)
  • 3.3-2   POI moltiplicare i coefficienti (con le normali tabelline)
  • 3.3-3   INFINE scrivere le lettere in ordine alfabetico

 

ricordando sempre che anche se non scriviamo nulla è sempre sottinteso un segno "per" della moltiplicazione

 

        18abx  = (+18)*(+a)*(+b)*(+x)

 

Lo stesso vale per le divisioni

  

 

 

 

3.4    Potenze di monomi

 

Se             (3a)(4b)         =   (+3a)(+ab)         =   +12ab

allora        (3a)(4a)         =   (+3a)(+4a)         =  +12aa

e               (3a)(4a)(2a)   =   (+3a)(+4a)(+2a)  =  +24aaa

eccetera.

Per la congenita pigrizia insita nel genere umano, invece di scrivere  " aa "    oppure  " aaa " si usano le POTENZE

 

aa                si scrive        a2

aaa              si scrive        a3

aaaa            si scrive        a4

aaa....aa      si scrive        an

 (n volte)

 

 

per cui la POTENZA " a " elevato alla " settima " si ottiene moltiplicando il monomio per se stesso

a.a.a.a.a.a.a

USANDO sette " a " . In realtà le moltiplicazioni sono sempre una di meno della POTENZA indicata con l' ESPONENTE perchè già nella prima moltiplicazione ne usiamo DUE.

Vediamo alcuni esempi pratici:

 

 

Come si può vedere

  • 3.4-1    le POTENZE PARI (seconda, quarta, ecc.) hanno SEMPRE un risultato POSITIVO
  • 3.4-2    le POTENZE DISPARI (terza, quinta ecc.) MANTENGONO IL SEGNO DI PARTENZA

 

Tornando ai nostri esempi di prima scriveremo:

 

(3a)(4b)         =      (+3a)(+4b)          =   +12ab          =     12ab

(3a)(4a)         =      (+3a)(+4a)          =   +12aa           =     12a2

(3a)(4a)(2a)   =      (+3a)(+4a)(+2a)  =   +24aaa         =     24a3

 

ESERCIZI

 

3.5    Operazioni con le potenze

 

  • 3.5.1    Somme algebriche di potenze

 

Si possono sommare (o sottrarre) due o più potenze solo se hanno le parti letterali IDENTICHE:

 

3ax3 + 12ax3 – 5ax3  =  + 10ax3

 

Invece i monomi:

 

4a2x3  +  5a3x2  +  2ax  +  7x3     

 

NON si possono sommare e rimangono espressi così come sono.

 

  • 3.5.2    Moltiplicazione e divisione di potenze

 

A5      =   A*A*A*A*A

X3      =   X*X*X

 

 

Quindi:

 

 

Concludendo:

 

  • MOLTIPLICANDO due potenze con base uguale i coefficienti si MOLTIPLICANO e gli esponenti si SOMMANO

 

Analogamente ricordando che

 

 

avremo:

 

 

Ricordando la nostra DOPPIA CROCE 

se MOLTIPLICANDO gli esponenti si SOMMANO, è ovvio che DIVIDENDO gli esponenti si SOTTRAGGONO

 

  • DIVIDENDO due potenze con base uguale i coefficienti si DIVIDONO e gli esponenti si SOTTRAGGONO
 
  • 3.5.3    Potenze di potenze

 

(x3)4 = (x3)( x3)( x3)( x3) = x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x = x12      

cioè

(x3)4  =  x(3*4)

 

Ancora una volta torna utile la DOPPIA CROCE:

 

  • nella POTENZA DI POTENZA l'esponente si "ELEVA" e gli esponenti si MOLTIPLICANO

 

  • 3.5.4    Radici di potenze

 

Poichè l'operazione "RADICE" è l'inverso dell'operazione "POTENZA" se facendo la potenza di una potenza MOLTIPLICO gli esponenti, quando devo fare la radice di una potenza DIVIDERO' l'esponente della potenza per l'indice della radice. Cioè se faccio la radice cubica  di   A  elevato alla dodicesima troverò  A   elevato alla quarta, semplicemente perchè dodici diviso tre fa quattro.

 

 

Notate bene che (sempre a causa dell'umana pigrizia) quando NON C'E' scritto nessun indice sulla radice si sottintende sempre che ci sia scritto il numero "2" e viceversa: la radice quadrata (o "seconda") si scrive senza aggiungere l'indice "2".

 

 

 

  • 3.5.5    Proprietà delle potenze

 

Quindi la nostra famosa DOPPIA CROCE MAGICA alla fine del capitolo 1 ci permette di ricordare tutte le proprietà delle potenze

 

  1. Gli esponenti ed i coefficienti non si "mescolano" mai tra loro, cioè non esiste nessun caso in cui sommo, sottraggo, moltiplico, divido ecc. un coefficiente direttamente con un esponente o un indice di radice. Gli esponenti rispetto ai coefficienti sono dei "nobili", tanto è vero che li scriviamo in alto, proprio per non confonderli coi coefficienti "plebei".
  2. Gli esponenti delle potenze "fanno" sempre un passo in meno, infatti
  •         se moltiplico si sommano
  •         se divido si sottraggono
  •         se elevo a potenza si moltiplicano
  •         se faccio una radice si dividono

 

 

 

3.6    Moltiplicazioni di un monomio per un polinomio.

 

Se ho il polinomio

       15a + 60b - 25c            e voglio moltiplicarlo tutto per        3        scriverò

    3(15a + 60b + 25c)          che corrisponde a

(+3)(+15a + 60b + 25c)

 

Per fare questa moltiplicazione devo moltiplicare (+3) per TUTTI i monomi dentro la parentesi (mi raccomando la regola dei segni)

 

(+3)(+15a + 60b + 25c)  =  +45a + 180b + 75c

 

Altri esempi:

 

5a(3x - 4y)  =  +15ax - 20ay

-2m(4x -3y + 7)  =  -8mx +6my -14m

 

Ricordando che il coefficiente  "1"  ed il segno   "+" vengono sempre sottintesi avremo:

 

 (a + b - 3)   =  (+1)(+a + b -3)  =    +a +b -3

e

-(a + b -3)  =  (-1)(+a +b -3)     =    -a  -b +3

 

per cui possiamo inventarci la regoletta:

 

  • 3.6-1     quando davanti ad una parentesi c'è il segno " + " togliamo la parentesi e ricopiamo tutti i monomi così come sono
  • 3.6-2     quando davanti ad una parentesi c'è il segno " - " togliamo la parentesi cambiando tutti i segni di ciascun monomio

 

Tornando all'esempio dei tavoli e delle sedie

       (15a + 60b) + (10a + 40b) 

e ricordando che è la scrittura abbreviata di

(+1)(+15a + 60b) + (+1)(+10a + 40b)

avremo:

(15a + 60b) + (10a + 40b) = +15a + 60b +10a + 40b = +25a +100b

 

Altri esempi:

 

2(5a + 4b) -3(3a - b) = +10a + 8b -9a + 3b = +1a + 11b  = +a + 11b

3a(2x - y) -a(4x - 2y)  =  +6ax - 3ay -4ax + 2ay)  =  +2ax - y

 

 

 

3.7    Moltiplicazioni tra polinomi

 

(a + b)(x + y + z)

 

Questo è il tipico esempio di una moltiplicazione tra polinomi. Eseguirla e facilissimo: basta

 

  • 3.7-1   moltiplicare OGNI monomio della prima parentesi per TUTTI i monomi della seconda parentesi.

 

(a + b)(x + y + z)  =  +ax + ay + az    +bx + by + bz

 

(2a - 3b)(4x - 5y - 6)  =  +8ax - 10ay - 12a    - 12bx + 15by + 18b

 

(5a -3b +2)(8m -7n -8) = 40am -35an -40a -24bm +21bn +24b +16m -14n -16 

 

ESERCIZI

 

 

(2) Le equazioni     < (3) >     (4) Potenze particolari